সংখ্যাতত্ত্বের জগতে মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলো সবসময়ই গণিতবিদদের কাছে কৌতূহলের বিষয়। বিশেষ করে কোনো নির্দিষ্ট মডুলোর অধীনে সংখ্যার ‘অর্ডার’ বা ঘাত নির্ণয়ের ক্ষেত্রে ‘প্রিমিটিভ রুট’ একটি শক্তিশালী হাতিয়ার হিসেবে কাজ করে। বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটির সহযোগিতায় এই গাণিতিক বিষয়টির বিভিন্ন দিক উঠে এসেছে।

ফার্মার লিটল থিওরেম অনুযায়ী, যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং a ও p সহমৌলিক হয়, তবে a^(p-1) ≡ 1 (mod p) হবে। অর্থাৎ, মডুলো মৌলিক সংখ্যা হলে কোনো সংখ্যার সর্বোচ্চ অর্ডার হতে পারে p-1। যখন কোনো সংখ্যার অর্ডার ঠিক এই সর্বোচ্চ সীমার সমান হয়, তখন তাকে ওই মৌলিক সংখ্যার প্রিমিটিভ রুট বলা হয়।

তবে সব সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রিমিটিভ রুট পাওয়া যায় না। উদাহরণস্বরূপ, যৌগিক সংখ্যা ৮-এর ক্ষেত্রে কোনো প্রিমিটিভ রুট নেই। গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, কোনো সংখ্যা n-এর প্রিমিটিভ রুট থাকবে যদি এবং কেবল যদি n-এর মান ২, ৪, p^k অথবা 2p^k হয়, যেখানে p একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা।

প্রিমিটিভ রুটের এই ধারণা ব্যবহার করে গণিতের অনেক জটিল উপপাদ্য সহজে প্রমাণ করা সম্ভব। এর মধ্যে অন্যতম হলো উইলসনস থিওরেম। এই থিওরেম অনুযায়ী, (p-1)! ≡ -1 (mod p)। প্রিমিটিভ রুটের ঘাতের ধারা ব্যবহার করে এই প্রমাণটি অত্যন্ত সহজ হয়ে যায়।

বিশেষজ্ঞদের মতে, প্রিমিটিভ রুট হলো মৌলিক সংখ্যার জগতের এমন এক চাবিকাঠি, যা পুরো সিস্টেমের গাণিতিক জটিলতা নিরসনে সহায়তা করে। এটি মূলত সংখ্যার চক্রাকার আবর্তন বা সাইকেল তৈরির মাধ্যমে ভাগশেষের হিসাবকে সহজতর করে তোলে।

তথ্যসূত্র: প্রথম আলো