গণিতের জগতে মৌলিক সংখ্যাকে অন্যতম রহস্যময় বিষয় হিসেবে বিবেচনা করা হয়। ২, ৩, ৫, ৭ কিংবা ১১—অনন্তকাল ধরে চলা এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে আপাতদৃষ্টিতে কোনো সহজ ধারা চোখে না পড়লেও গণিতবিদেরা এর ভেতরে চমৎকার কিছু নিয়ম খুঁজে পেয়েছেন। এর মধ্যে অন্যতম হলো, ২ এবং ৩ বাদে যেকোনো মৌলিক সংখ্যাকে একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক কাঠামোয় প্রকাশ করা সম্ভব।

গণিতবিদদের মতে, ৩-এর চেয়ে বড় প্রতিটি মৌলিক সংখ্যাকে ‘6k + 1’ অথবা ‘6k – 1’ আকারে লেখা যায়, যেখানে ‘k’ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ভাগশেষের একটি সহজ যুক্তিতে এই বিষয়টি প্রমাণ করা সম্ভব। যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হিসেবে ০, ১, ২, ৩, ৪ অথবা ৫ পাওয়া যায়। ফলে সব পূর্ণসংখ্যাকে ৬টি নির্দিষ্ট ভাগে ভাগ করা যায়।

এই ভাগগুলোর মধ্যে ‘6k’ হলো ৬-এর গুণিতক, তাই এটি মৌলিক হতে পারে না। আবার ‘6k + 2’ এবং ‘6k + 4’ সবসময় জোড় সংখ্যা হওয়ায় এগুলোও মৌলিক নয়। অন্যদিকে ‘6k + 3’ সংখ্যাটি সবসময় ৩ দিয়ে বিভাজ্য। ফলে মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা টিকে থাকে কেবল ‘6k + 1’ এবং ‘6k + 5’ (যা মূলত 6k – 1) এর ক্ষেত্রে। এ কারণেই ৩-এর চেয়ে বড় সব মৌলিক সংখ্যা এই দুই কাঠামোর যেকোনো একটিতে পড়ে।

তবে একটি বিষয় মনে রাখা জরুরি যে, সব মৌলিক সংখ্যা এই নিয়ম মেনে চললেও এই কাঠামোর সব সংখ্যাই কিন্তু মৌলিক নয়। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, k-এর মান ৪ হলে সংখ্যাটি হয় ২৫, যা মৌলিক নয়। অর্থাৎ এই নিয়মটি মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পাওয়ার ক্ষেত্রকে ছোট করে দেয়, কিন্তু কোনো সংখ্যা মৌলিক কি না তা নিশ্চিত করে না।

যমজ মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রেও গণিতের এই নিয়মটি চমৎকার কাজ করে। ৫ ও ৭ কিংবা ১৭ ও ১৯-এর মতো যেসব মৌলিক সংখ্যার ব্যবধান ২, তাদের গুণফলের সঙ্গে ১ যোগ করলে প্রাপ্ত ফল সবসময় একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় এবং তা ৩৬ দিয়ে বিভাজ্য হয়। যেমন—৫ ও ৭-এর গুণফলের সঙ্গে ১ যোগ করলে হয় ৩৬, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

মৌলিক সংখ্যার আরেকটি বৈশিষ্ট্য হলো, ৩-এর চেয়ে বড় যেকোনো মৌলিক সংখ্যার বর্গ থেকে ১ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি সবসময় ২৪ দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেমন—৫-এর বর্গ ২৫ থেকে ১ বিয়োগ করলে হয় ২৪, যা ২৪ দিয়ে বিভাজ্য। একইভাবে ১১-এর বর্গ ১২১ থেকে ১ বিয়োগ করলে ১২০ হয়, যা ২৪ দিয়ে বিভাজ্য।

বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটির সহযোগিতায় বিশেষজ্ঞরা জানান, মৌলিক সংখ্যার এই প্রমাণগুলোতে গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি কাজ করে না। কারণ একটি মৌলিক সংখ্যা থেকে পরবর্তী মৌলিক সংখ্যার দূরত্ব নির্দিষ্ট নয়। মূলত ভাগশেষের যুক্তিতে সংখ্যাগুলোকে বিভিন্ন দলে ভাগ করেই এই রহস্য উন্মোচন করা হয়েছে। আহমেদ জাওয়াদ চৌধুরী ও তামজীদ মোর্শেদ রুবাবের গণিত বিষয়ক গবেষণামূলক কাজেও এই বিষয়গুলো বিস্তারিত উঠে এসেছে।

তথ্যসূত্র: প্রথম আলো